꼬슬꼬슬 Convergence !!

MRI에서 얻은 신호로 부터 영상을 얻어내기 위해서는 푸리에 변환(Fourier transform)이 사용됩니다.
푸리에 변환의 기본이 되는 푸리에 급수에 대해 알아오라는 과제를 받았네요.

모터, 회전 기계, 음파, 지구의 운동, 정상적인 심장 등에서의 주기현상을 코사인과 사인 함수들의 항으로 나타내는 주기함수는 푸리에 급수가 됩니다. 다시 말하면 푸리에 급수는 코사인 및 사인 항들로 이루어진 급수입니다.
푸리에 급수는 실용적으로 관심거리가 되는 불연속적인 많은 주기함수들을 다룰 수 있습니다.

다시 정리해서 말하자면
푸리에 급수 (Fourier series)는
임의의 주기함수를 아래와 같은 삼각함수로 구성되는 급수로써 표현하는 것입니다.

$$ f(x)= a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}\ (a_n\ cos\ nx\ +\ b_n\ sin\ nx)$$

그러니깐 위 그럼 처럼 사각파도 주기를 가지고 있다면 수많은 sin파의 합으로 나타 낼 수있다는 것입니다.

푸리에 급수는 주어진 주기함수 $f(x)$를 코사인 및 사인 함수로 표현하기 위한 작업에서 등장합니다.
이 급수의 계수는 오일러 공식(Euler formulas)에 의해$f(x)$로부터 결정됩니다.

푸리에 계수에 대한 오일러 공식
$f(x)$가 다음과 같은 삼각 급수
$$ f(x)= a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}\ (a_n\ cos\ nx\ +\ b_n\ sin\ nx)$$
로 표시할 수 있는 주기 2π인 주기함수라면(즉, 이 급수는 수렴하며 합이$f(x)$가 된다면) 함수  $f(x)$가 주어졌을 때, 이에 대응하는 급수의 상수항 $a_0$와계수 $a_n$과 $b_n$는

다음 오일러 공식(Euler formulas)에 의해 결정됩니다.
$$ a_{0} = {1\over2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\ dx $$
$$ a_{n} = {1\over\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\ cos\ nx\ dx $$
$$ b_{n} = {1\over\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\ sin\ nx\ dx $$

오일러 공식이 어떻게 나오는 지는 다음 포스트를 기대해주세요^^