꼬슬꼬슬 Convergence !!

MRI에서 얻은 신호로 부터 영상을 얻어내기 위해서는 푸리에 변환(Fourier transform)이 사용됩니다.
푸리에 변환의 기본이 되는 푸리에 급수에 대해 알아오라는 과제를 받았네요.

모터, 회전 기계, 음파, 지구의 운동, 정상적인 심장 등에서의 주기현상을 코사인과 사인 함수들의 항으로 나타내는 주기함수는 푸리에 급수가 됩니다. 다시 말하면 푸리에 급수는 코사인 및 사인 항들로 이루어진 급수입니다.
푸리에 급수는 실용적으로 관심거리가 되는 불연속적인 많은 주기함수들을 다룰 수 있습니다.

다시 정리해서 말하자면
푸리에 급수 (Fourier series)는
임의의 주기함수를 아래와 같은 삼각함수로 구성되는 급수로써 표현하는 것입니다.

$$ f(x)= a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}\ (a_n\ cos\ nx\ +\ b_n\ sin\ nx)$$

그러니깐 위 그럼 처럼 사각파도 주기를 가지고 있다면 수많은 sin파의 합으로 나타 낼 수있다는 것입니다.

푸리에 급수는 주어진 주기함수 $f(x)$를 코사인 및 사인 함수로 표현하기 위한 작업에서 등장합니다.
이 급수의 계수는 오일러 공식(Euler formulas)에 의해$f(x)$로부터 결정됩니다.

푸리에 계수에 대한 오일러 공식
$f(x)$가 다음과 같은 삼각 급수
$$ f(x)= a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}\ (a_n\ cos\ nx\ +\ b_n\ sin\ nx)$$
로 표시할 수 있는 주기 2π인 주기함수라면(즉, 이 급수는 수렴하며 합이$f(x)$가 된다면) 함수  $f(x)$가 주어졌을 때, 이에 대응하는 급수의 상수항 $a_0$와계수 $a_n$과 $b_n$는

다음 오일러 공식(Euler formulas)에 의해 결정됩니다.
$$ a_{0} = {1\over2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\ dx $$
$$ a_{n} = {1\over\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\ cos\ nx\ dx $$
$$ b_{n} = {1\over\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\ sin\ nx\ dx $$

오일러 공식이 어떻게 나오는 지는 다음 포스트를 기대해주세요^^

수소 원자핵 양성자의 회전 속도를 알기 위해서 Larmor equation을 이용합니다.
위 그림에서

을 나타냅니다.

Larmor equation은

즉, 회전 속도는 외부에서 걸어준 자장의 세기와 비례한다는 의미 입니다.


γ는 비례상수로 자장의 세기가 1T일 때 42.576MHz 입니다. 1.5T에서는 64MHz라고 하네요.

ω0의 범위는 약 10^7 ~ 10^8 정도 라고 합니다.
그래서 MRI는 공명을 일으키기 위해 수십 MHz 대역의 RF(Radio Frequency)를 사용합니다.

사진은 Larmor equation을 발견한 Joseph Larmor(1857~1942, 영국) 입니다.

수소 원자핵 양성자(proton)의 스핀은 외부 자장이 없으면 회전 축이 무작위로 배열되어 의미 있는 신호를 얻기 힘듭니다.
외부 자장에 의해 스핀은 자장에 수평한 방향으로 정렬되어 자장을 축으로 회전하게 됩니다.
그림으로 보면 아래와 같은 모양이 되겠지요. (외부 자장 B0가 z축 방향으로 흐르고 있습니다.)

하지만 이때 스핀이 외부 자장에 평행하기는 하지만 모든 스핀의 방향까지도 외부 자장과 일치 하지는 않습니다.
그래도 강력한 자장 속에서 외부 자장과 같은 방향으로 세차운동하는 양성자수가 외부 자장과 반대 방향인 것보다 약간 더 많기 때문에 정렬된 양성자 스핀들의 벡터 합을 MRI 신호를 만들기 위해 사용합니다.

서로 반대 방향의 스핀 수의 차이는 자장의 세기에 따라  다음 그림으로 타나낼 수 있습니다.
자장의 세기가 0.5T(Tesla)일 때 100만개 중 3개, 1T일 때 100만개 중 6개 차이이니 아주 미세한 차이라는 것을 알 수 있습니다.

이런 미세한 차이의 벡터의 합을 Net magnetization(평균자화) 이라고 하고 기호 로는 M 이라고 나타냅니다. 
그리고 이렇게 M이 외부자장의 방향으로 형성되는 것을 Longitudinal magnetization(종축자화) 라고 합니다.

원자는 핵과 전자로 구성되어 있고 핵에는 양전하를 띄는 양성자가 있습니다.
양성자는 일정하게 축을 따라 회전 운동(spin)을 합니다.

수소 원자 핵의 spin은 자기 모멘트(μ : Nuclear magnetic moment)를 가지고 있어 작은 막대 자석에 비유할 수 있습니다.

이렇게 회전 운동을 하는 양성자들은 외부에 자장(B0)이 없는 상태에서는 회전축(spin axis)이 무작위로 배열되어있습니다.
이때 외부 자장을 가하면 원자핵의 스핀들이 자장의 방향에 따라 일직선으로 정렬해서 자장축을 회전하게됩니다.

이렇게 정렬된 수소원자핵들에서 나오는 자장을 이용해서 MRI에 필요한 신호를 만들게 됩니다.
자세한 내용은 계속 포스팅 됩니다.^^

이번 학기에 자기공명 영상에 대해서 배웁니다^^
제가 배운 내용을 기초로 적는 글이라 부족함이 많겠지만 도움이 되길 바랍니다!!

■ MRI?
 요즘 어느 정도 규모가 큰 병원이라면 MRI라는 시설을 갖추고 있습니다. 그리고 실제로 많은 사람들이 이 진단장비를 통해서 질병의 진단을 받습니다. 그럼 이 MRI라는 녀석에 대해서 간단히 알아볼까요?

 'Magnetic Resonance Imaging' 우리말로 옮기면 '자기공명영상'입니다.

이름에서 느껴지듯이 MRI는 자장을 사용하는 장비입니다. 우리 나라를 기준으로 지구의 자장이 0.5G(가우스)정도인데 MRI는 지구 자장의 15000~30000배 정도의 자장을 사용합니다.

그러면 이런 큰 자장을 얻기 위해서는 어떻게 해야될까요?

우선 자석의 종류에는 크게 지남철을 이용한 영구 자석과 전류의 흐름을 이용한 전자석이 있습니다.
MRI에서는 전자석을 이용하게 되는데 높은 자장을 얻기 위해 초전도 물질을 사용합니다.

 

초전도 물질은 전기 저항이 '0Ω'이기 때문에 전기적 소모가 없어 처음에만 전류를 흘려주면 코일의 루프를 통해 전류가 영원히 흐르게 됩니다. 또한 열 발생이 없어 아주 높은 전류를 통하게 할 수 있기 때문에 높은 자장을 얻을 수 있습니다.




■ MR System 의 정의
 - 고자장을 이용하여
 - 인체 내부 단면 영상(MR Imaging) 또는 분광정보(MR Spectroscophy)를 얻어
 - 질병을 진단하는
 - 비파괴 영상장치 (in vivo : 인체의 손상 없이)
정도로 정의할 수 있습니다.

단면 영상을 통해 장기의 위치나 구조등 인체 내부의 해부학적 정보를 얻을 수 있고,
분광 정보를 통해 장기나 조직의 대사 정보를 얻을 수 있습니다.


■ MRI 특징
 - 인체에 무해 (non-invasive)
 - 연부조직의 대조도(soft tissue contrast)가 우수
 - 다양한 변수 (ρ, T1, T2, v, D, σ 등등)
 - 임의의 방향으로 영상(oblique imaging)이 가능
 - 해부학, 분광학적 영상 및 기능적 영상이 가능
 - 실시간 중재적 시술 및 영상 유도 수술

MRI는  방사선 피폭 등의 위험이 없고 X-ray나 CT에 비해 살, 근육, 장기 등 연부 조직(soft tissue)에 대한 대조도(contrast)가 우수합니다. 그리고 X-ray는 조직에 대한 감쇠계수만을 변수로 갖고 있지만 MRI는 다양한 변수를 통해 같은 부위라도 용도에 맞는 다른 영상을 얻을 수 있습니다.
 

예를 들면 위 사진과 같이T1와 T2는 서로 contrast가 반대이고 T2는 주로 암 진단에 사용합니다. 또 환자나 기계를 이동시키거나 회전 시키지 않고 다양한 방향으로 영상을 얻을 수 있고(S/W적으로), 장기의 위치나 구조 등의 해부학적 영상 및 조직의 대사 정보를 얻을 수있는 분광학적 영상(운동 전 근육과 운동 후 젖산이 쌓인 근육 등) 또는 기능적영상(뇌기능:해부학적 구조는 그대로인데 자극에 대해 어디서 반응이 나타나는지 확인)을 얻을 수 있습니다. 마지막으로 특수한 경우에 실시간 중재적 시술이나 영상유도 수술에 사용할 수 있습니다.
(그런데 자료를 찾다보니 고해상도 CT에서 더 좋은 영상을 얻는 경우도 있는 것 같습니다.^^;;)

위 사진은 CT와 MRI 영상의 비교입니다 A가 CT, B가 MRI입니다. CT영상을 통해 석회 침착등을 쉽게 관찰할 수 있고 MRI영상을 통해 종양을 진단할 수 있습니다. 사진에서 CT는 뼈가 하얗게 나온 반면에 MRI에서는 검게 나옵니다 이것은 MRI는 뼈에서 신호를 거의 안 받기 때문이라고 합니다.


■ MR Signal
MR Signal은 H(수소)원자핵에서 나온 신호이며 우리 몸 속의 H2O(물)분자의 H 원자핵 농도에 따라 영상이 나타납니다.


■ MR Angiography
혈관의 혈류를 조영제 없이 영상으로 나타낼 수 있다는 장점이 있습니다. 하지만 요즘은 MR용 조영제를 사용하면 혈류를 더욱 잘 볼 수 있기때문에 조영제를 사용합니다. (MR에서 사용하는 조영제는 CT나 X-ray에서 사용하는 조영제와는 다른 성분으로 부작용이 훨씬 적다고 합니다.)

■ MRI가 등장할 수 있었던 배경
1924년 Wolfgang Pauli가 원자핵이 스스로 회전(스핀)하고 있다는 것을 발견
 → 전하를 띈 물질이 움직이면(회전) 주변에 자장이 발생한다.
1937년 Nuclear Magnetic Resonance(NMR) Phenomenon
 → 에너지를 가진 것들은 공명현상을 가지는데 원자핵은 자장에 대한 공명현상을 가지고 있다.
1946년 Measurement of NMR Signal
→ 자기장 내 저 에너지 준위의 원자핵은 특정 주파수(spin에 맞는 주파수)의 복사선(RF)을 흡수하면 고 에너지 준위로 전위한다.
→ 에너지와 주파수는 비례한다. (E=hv)